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\title{物理学习笔记：光的衍射 (Ch 36)}
\author{学习整理}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{衍射现象简介}
当光在传播过程中遇到障碍物或小孔时，它会偏离直线传播路径，绕到障碍物的阴影区，这种现象称为光的\textbf{衍射} (Diffraction)。衍射是波动的重要特征之一。 [cite: 1]

\subsection{菲涅尔衍射与夫琅禾费衍射}
根据观察屏与障碍物/小孔的距离不同，衍射现象可以分为两类：
\begin{itemize}
    \item \textbf{菲涅尔衍射 (Fresnel Diffraction)}：也称为近场衍射，此时光源或观察屏与障碍物/小孔的距离是有限的，入射光和衍射光都不是平行光。 [cite: 6] 例如，观察刀片边缘在单色点光源照射下产生的衍射条纹。 [cite: 2]
    \item \textbf{夫琅禾费衍射 (Fraunhofer Diffraction)}：也称为远场衍射，此时光源和观察屏与障碍物/小孔的距离都可视为无限远，入射光和衍射光都可视为平行光。 [cite: 7] 在实验中，通常使用透镜来实现夫琅禾费衍射条件。 [cite: 8]
\end{itemize}
一个著名的例子是\textbf{泊松亮斑 (Poisson Spot / Arago Spot)}。1818年，菲涅尔基于波动理论解释衍射现象，泊松推断出在圆形障碍物阴影中心应出现一个亮点，后被阿拉果实验证实，有力支持了光的波动说。 [cite: 3]

\section{单缝衍射}
当平行单色光垂直入射到一个宽度为 $a$ 的狭缝时，会在远处的屏幕上形成一系列明暗相间的条纹，中央条纹最亮最宽，两侧条纹对称分布，宽度变窄，亮度减弱。

\subsection{暗纹条件}
根据惠更斯原理，狭缝上的每一点都可以看作是新的子波源。 [cite: 4, 5] 考虑从狭缝边缘发出的两条光线到达屏幕上某点P，如果P点为暗纹，则来自狭缝上半部分的光与来自狭缝下半部分的光在该点发生相消干涉。
第一条暗纹的位置满足：
$$ \frac{a}{2} \sin\theta = \pm \frac{\lambda}{2} $$
推广到第 $m$ 级暗纹 ($m = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$)：
$$ a \sin\theta = m\lambda $$
或者，对于小角度 $\theta$ (以弧度为单位)：
$$ \theta \approx \frac{m\lambda}{a} $$
其中 $\lambda$ 是光的波长。$m=0$ 对应中央亮纹，不是暗纹。 [cite: 10, 12, 13, 14]
如果屏幕距离狭缝为 $x$，则暗纹离中心的距离 $y_m$ 为：
$$ y_m = x \tan\theta \approx x \sin\theta = x \frac{m\lambda}{a} $$
[cite: 15, 16]

\subsection{单缝衍射的强度分布}
通过矢量叠加法 (Phasor Diagram) 分析，可以得到单缝衍射的强度 $I$ 分布公式： [cite: 17, 20, 21, 22, 23, 24]
$$ I = I_0 \left( \frac{\sin\alpha}{\alpha} \right)^2 $$
其中 $I_0$ 是中央亮纹的最大强度，$\alpha$ 是与衍射角 $\theta$ 相关的相位因子：
$$ \alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda} $$
$\beta$ 是从狭缝两边缘到达屏幕某点的光的相位差： [cite: 25]
$$ \beta = \frac{2\pi}{\lambda} a \sin\theta $$
\textbf{暗纹位置}由 $\sin\alpha = 0$ 但 $\alpha \neq 0$ 给出，即 $\alpha = m\pi$ ($m = \pm 1, \pm 2, \dots$)，这与之前的暗纹条件 $a \sin\theta = m\lambda$ 一致。 [cite: 26]
\textbf{亮纹位置} (除中央亮纹外) 近似发生在 $\alpha$ 使得 $\frac{dI}{d\alpha} = 0$ 的地方，这导致方程 $\tan\alpha = \alpha$。 [cite: 30] 其近似解为 $\alpha \approx \pm 1.43\pi, \pm 2.46\pi, \dots$。 [cite: 31, 33]
旁轴亮纹的强度远小于中央亮纹：
\begin{itemize}
    \item 第一级旁轴亮纹 ($\alpha \approx 1.43\pi$) 的强度约为 $I_0 \left( \frac{\sin(1.43\pi)}{1.43\pi} \right)^2 \approx 0.0472 I_0$ (即 $4.72\% I_0$)。 [cite: 35]
    \item 第二级旁轴亮纹 ($\alpha \approx 2.46\pi$) 的强度约为 $I_0 \left( \frac{\sin(2.46\pi)}{2.46\pi} \right)^2 \approx 0.0165 I_0$ (即 $1.65\% I_0$)。 [cite: 35]
\end{itemize}

\subsection{例题1}
(a) 单缝衍射图样的中央强度为 $I_0$。当缝两边缘发出的子波到达屏上某点的相位差为 $66$ 弧度时，该点的光强是多少？ [cite: 36]
(b) 如果此点偏离中央亮纹 $7.0^\circ$，那么缝宽是波长的多少倍？ [cite: 37]

\textbf{解：}
(a) 相位差 $\beta = 66 \text{ rad}$。则 $\alpha = \beta/2 = 33 \text{ rad}$。 [cite: 38]
光强 $I = I_0 \left( \frac{\sin\alpha}{\alpha} \right)^2 = I_0 \left( \frac{\sin(33 \text{ rad})}{33 \text{ rad}} \right)^2 \approx I_0 \left( \frac{0.9995}{33} \right)^2 \approx (9.2 \times 10^{-4}) I_0$。 [cite: 38]
(b) 由 $\beta = \frac{2\pi a \sin\theta}{\lambda}$，可得缝宽与波长的关系： [cite: 38]
$$ \frac{a}{\lambda} = \frac{\beta}{2\pi \sin\theta} = \frac{66 \text{ rad}}{2\pi \text{ rad} \cdot \sin(7.0^\circ)} \approx \frac{66}{2\pi \cdot 0.1219} \approx 86 $$
所以，缝宽约为波长的 $86$ 倍。 [cite: 38]

\section{双缝干涉的实际情况 (考虑衍射)}
在实际的双缝干涉实验中，每个狭缝都有一定的宽度 $a$，因此不仅会发生两束光之间的干涉，每个狭缝自身也会产生衍射。 [cite: 39, 40, 41]
最终的强度分布是双缝干涉因子和单缝衍射因子的乘积： [cite: 42, 44, 45]
$$ I_P = I_{\text{max}} \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) \left[ \frac{\sin(\beta/2)}{\beta/2} \right]^2 $$
其中：
\begin{itemize}
    \item $\phi = \frac{2\pi d \sin\theta}{\lambda}$ 是由双缝中心间距 $d$ 引起的两束光到达P点的相位差 (干涉项)。 [cite: 45, 47]
    \item $\beta = \frac{2\pi a \sin\theta}{\lambda}$ 是由单缝宽度 $a$ 引起的缝上边缘和下边缘光到达P点的相位差 (衍射项)。 [cite: 45, 47]
    \item $I_{\text{max}}$ 是理想点光源双缝干涉下主极大的最大强度 (原 $4I_0$)。 [cite: 44, 45]
\end{itemize}
衍射效应会调制干涉条纹的强度，形成一个衍射“包络线”。某些由于干涉应出现的亮条纹，如果恰好落在衍射的暗纹处，则会消失，称为“缺级”。 [cite: 48, 49]

\subsection{例题2}
在双缝实验中，波长 $\lambda = 405 \text{ nm}$，缝间距 $d = 19.44 \text{ }\mu\text{m}$，缝宽 $a = 4.050 \text{ }\mu\text{m}$。 [cite: 50]
(a) 在中央衍射峰内有多少条明亮的干涉条纹？ [cite: 50]
(b) 在任一第一级旁侧衍射峰内有多少条明亮的干涉条纹？ [cite: 54]

\textbf{解：}
(a) 中央衍射峰由第一级衍射暗纹限定。第一级衍射暗纹的位置： [cite: 51]
$$ \sin\theta_D = \frac{\lambda}{a} = \frac{405 \times 10^{-9} \text{ m}}{4.050 \times 10^{-6} \text{ m}} = 0.1 $$
因此，$\theta_D \approx \pm 0.1 \text{ rad}$。
干涉亮纹的位置： $d \sin\theta_I = m' \lambda$，其中 $m'$ 是干涉级次。 [cite: 52]
$$ \sin\theta_I = \frac{m'\lambda}{d} $$
我们寻找满足 $|\sin\theta_I| < \sin\theta_D$ 的 $m'$：
$$ \left| \frac{m'\lambda}{d} \right| < \frac{\lambda}{a} \Rightarrow |m'| < \frac{d}{a} = \frac{19.44 \text{ }\mu\text{m}}{4.050 \text{ }\mu\text{m}} = 4.8 $$
所以 $m'$ 可以取 $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$。总共有 $2 \times 4 + 1 = 9$ 条明亮的干涉条纹在中央衍射峰内。 [cite: 52]

(b) 第一级旁侧衍射峰位于第一级衍射暗纹和第二级衍射暗纹之间。 [cite: 54]
第二级衍射暗纹的位置： [cite: 55]
$$ \sin\theta_{D2} = \frac{2\lambda}{a} = 2 \times 0.1 = 0.2 $$
我们寻找满足 $\sin\theta_D < |\sin\theta_I| < \sin\theta_{D2}$ 的 $m'$ (考虑 $\theta > 0$ 的一侧)：
$$ \frac{\lambda}{a} < \left| \frac{m'\lambda}{d} \right| < \frac{2\lambda}{a} \Rightarrow \frac{d}{a} < |m'| < \frac{2d}{a} $$
$$ 4.8 < |m'| < 2 \times 4.8 = 9.6 $$
所以 $m'$ 可以取 $5, 6, 7, 8, 9$。在任一第一级旁侧衍射峰内有 $5$ 条明亮的干涉条纹。 [cite: 56]

\section{圆孔衍射与分辨率}
当平行光通过圆形孔径 (直径为 $D$) 时，会形成一个中央亮斑 (称为艾里斑，Airy disk) 和一系列较暗的同心圆环。 [cite: 58, 59, 60]
第一级衍射暗环对应的衍射角 $\theta_1$ 满足：
$$ \sin\theta_1 = 1.22 \frac{\lambda}{D} $$
[cite: 60]

\subsection{瑞利判据 (Rayleigh's Criterion)}
瑞利判据给出了一个光学仪器恰能分辨两个点光源的条件：一个点光源的衍射图样的中央亮斑的中心，恰好落在另一个点光源的衍射图样的第一暗环上。 [cite: 61, 62, 63, 64]
此时，两个点光源的角间距 $\theta_R$ (即仪器的最小分辨角或角分辨率) 为：
$$ \theta_R \approx \sin\theta_R = 1.22 \frac{\lambda}{D} $$
[cite: 65, 66]
其中 $D$ 是光学仪器孔径的直径 (例如透镜或光阑的直径)。 [cite: 66] 要提高分辨率 (即减小 $\theta_R$)，可以增大孔径 $D$ 或减小波长 $\lambda$。 [cite: 84]

\subsection{例题3}
人眼瞳孔的直径可在 $0.1 \text{ cm}$ 到 $0.8 \text{ cm}$ 之间变化。假设光波长为 $550 \text{ nm}$，人眼的最佳角分辨率是多少？ [cite: 67]

\textbf{解：}
最佳角分辨率对应于瞳孔直径最大时，即 $D = 0.8 \text{ cm} = 0.008 \text{ m}$。 [cite: 67]
$$ \theta_R \approx 1.22 \frac{\lambda}{D} = 1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9} \text{ m}}{0.008 \text{ m}} \approx 8.39 \times 10^{-5} \text{ rad} $$
这大约对应于 $8 \times 10^{-5}$ 弧度。 [cite: 67] (幻灯片给出的 $6 \times 10^{-4} \text{ rad}$ 可能是考虑了其他生理因素的实际平均值 [cite: 68])
根据幻灯片计算，当 $D=0.1 \text{ cm}$ 时，$\theta_R \approx 1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9}}{0.001} \approx 6.71 \times 10^{-4} \text{ rad} \approx 5 \times 10^{-4} \text{ rad}$ (与幻灯片 $5 \times 10^{-4} \text{ rad}$ 接近)。 [cite: 67]
当 $D=0.8 \text{ cm}$ 时，$\theta_R \approx 1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9}}{0.008} \approx 8.39 \times 10^{-5} \text{ rad}$ (与幻灯片 $8 \times 10^{-5} \text{ rad}$ 接近)。 [cite: 67]

\subsection{例题4}
一幅点彩画，假设点的平均中心间距 $D_{dots} = 2.0 \text{ mm}$。假设你的瞳孔直径 $d_{pupil} = 1.5 \text{ mm}$，你能分辨的最小角间距仅由瑞利判据决定。你至少需要离画多远才无法分辨画上的任何点？假设光的平均波长 $\lambda = 400 \text{ nm}$ (幻灯片中提到用 $\lambda = 400 \text{ nm}$，虽然通常可见光中心波长取 $550 \text{ nm}$)。 [cite: 70, 71, 72, 73, 74]

\textbf{解：}
人眼能分辨的最小角间距 $\theta_R = 1.22 \frac{\lambda}{d_{pupil}}$。 [cite: 75]
设观察距离为 $L$，点间距为 $D_{dots}$。当人眼恰好不能分辨时，点之间的角间距等于 $\theta_R$：
$$ \frac{D_{dots}}{L} = \theta_R = 1.22 \frac{\lambda}{d_{pupil}} $$
[cite: 75]
$$ L = \frac{D_{dots} \cdot d_{pupil}}{1.22 \lambda} = \frac{(2.0 \times 10^{-3} \text{ m}) \cdot (1.5 \times 10^{-3} \text{ m})}{1.22 \cdot (400 \times 10^{-9} \text{ m})} = \frac{3.0 \times 10^{-6}}{4.88 \times 10^{-7}} \text{ m} \approx 6.15 \text{ m} $$
与幻灯片结果 $L = 6.1 \text{ m}$ 一致。 [cite: 75]

\section{衍射对显微镜分辨率的限制}
光学显微镜的分辨率也受到衍射的限制。其最小分辨距离 $d_{min}$ (不是缝间距 $d$) 由阿贝衍射极限给出，通常形式为： [cite: 92]
$$ d_{min} = 0.61 \frac{\lambda}{n \sin\alpha} $$
其中：
\begin{itemize}
    \item $\lambda$ 是光的波长。 [cite: 92]
    \item $n$ 是物体所在介质的折射率 (例如，油浸物镜的 $n > 1$)。 [cite: 92]
    \item $\alpha$ 是物镜孔径角的一半。 [cite: 92]
    \item $n \sin\alpha$ 称为数值孔径 (NA, Numerical Aperture)。
\end{itemize}
对于可见光 ($\lambda \approx 400-700 \text{ nm}$)，空气中 ($n=1$)，$\sin\alpha$ 最大接近1，光学显微镜的分辨率极限大约在 $200-300 \text{ nm}$ 左右。 [cite: 92]
为了提高分辨率 (减小 $d_{min}$)，可以：
\begin{itemize}
    \item 使用更短波长的“光”，例如紫外线、X射线，或者利用电子的波动性 (电子显微镜)。 [cite: 93, 94]
    \item 增大介质的折射率 $n$ (如油浸物镜)。
    \item 增大孔径角 $\alpha$。
\end{itemize}
电子显微镜 (如SEM, TEM) 利用加速电子作为照明源，电子的德布罗意波长可以非常短 (例如，120kV加速电压下，波长约 $0.00335 \text{ nm}$)，从而获得远高于光学显微镜的分辨率。 [cite: 93, 94, 97, 104] 然而，电子显微镜的分辨率也受到透镜像差 (如球差、色差) 的限制。 [cite: 101, 102, 103]

\newpage
\section{思考题}

\begin{enumerate}
    \item \textbf{问题1：} 如果将单缝实验装置完全浸入水中 (水的折射率 $n_w > 1$)，而入射光的真空波长不变，那么屏幕上的衍射条纹间距会如何变化？中央亮纹的宽度呢？
    \item \textbf{问题2：} 在双缝干涉实验中，如果逐渐增大两条狭缝的宽度 $a$ (保持缝间距 $d$ 不变)，干涉图样会有什么变化？如果 $a$ 增大到等于 $d$ 时，会发生什么？
    \item \textbf{问题3：} 为什么夜空中看到的星星看起来是“闪烁”的，而行星通常不怎么闪烁？这与衍射和大气扰动有什么关系？
    \item \textbf{问题4：} 望远镜的口径越大，其分辨遥远天体的能力越强。除了收集更多光线使图像更亮之外，从衍射角度解释为什么大口径有助于提高分辨率。
    \item \textbf{问题5：} 假设用波长为 $\lambda$ 的单色平行光照射一个不透明圆盘，根据惠更斯-菲涅尔原理，在其阴影中心的后方，光强是亮还是暗？这与哪个著名现象有关？
\end{enumerate}

\newpage
\section{思考题答案}

\begin{enumerate}
    \item \textbf{答案1：}
    当装置浸入水中时，光在水中的波长变为 $\lambda' = \lambda / n_w$，其中 $\lambda$ 是真空中的波长。
    单缝衍射的暗纹位置（小角度近似）为 $y_m = x \frac{m\lambda'}{a} = x \frac{m\lambda}{n_w a}$。
    由于 $\lambda' < \lambda$，所以 $y_m$ 会减小，衍射条纹的间距会变窄。
    中央亮纹的宽度约等于第一级暗纹到另一侧第一级暗纹的距离，即 $W \approx 2y_1 = 2x \frac{\lambda'}{a} = 2x \frac{\lambda}{n_w a}$。因此，中央亮纹的宽度也会变窄。

    \item \textbf{答案2：}
    双缝干涉的强度分布为 $I_P = I_{\text{max}} \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) \left[ \frac{\sin(\beta/2)}{\beta/2} \right]^2$。
    干涉项 $\cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ 取决于缝间距 $d$，衍射项 $\left[ \frac{\sin(\beta/2)}{\beta/2} \right]^2$ 取决于缝宽 $a$ (其中 $\beta = \frac{2\pi a \sin\theta}{\lambda}$)。
    当缝宽 $a$ 逐渐增大时：
    \begin{itemize}
        \item 单缝衍射的中央亮纹宽度 ($\propto 1/a$) 会变窄。
        \item 这会导致双缝干涉条纹受到更窄的衍射包络线的调制，使得在中央衍射峰之外能观察到的干涉亮条纹数目减少（缺级现象会更显著）。
    \end{itemize}
    如果 $a$ 增大到等于 $d$ 时，考虑缺级条件。衍射暗纹满足 $a \sin\theta = m_D \lambda$ ($m_D = \pm 1, \pm 2, \dots$)。干涉亮纹满足 $d \sin\theta = m_I \lambda$ ($m_I = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$)。
    若 $a=d$，则当 $m_D = m_I$ 时，干涉亮纹会与衍射暗纹重合而消失。例如，当 $m_D=1$ 时，$\sin\theta = \lambda/a$。此时，如果也满足 $d \sin\theta = m_I \lambda$，即 $a (\lambda/a) = m_I \lambda$，则 $m_I=1$。这意味着第一级干涉亮纹 (除中央外) 将会消失。实际上，所有 $m_I = \pm 1, \pm 2, \dots$ 的干涉亮纹都会因为与相应级次的衍射暗纹重合而消失 (除了 $m_I=0$ 的中央亮纹，因为它对应 $m_D=0$，而 $m_D=0$ 是衍射中央亮斑而不是暗纹)。此时，屏幕上理论上只能看到单缝衍射的中央亮斑，因为所有旁轴的干涉极大都恰好落在了衍射极小处。

    \item \textbf{答案3：}
    星星距离地球非常遥远，可以看作是点光源。它们发出的光穿过地球大气层时，会因为大气密度的不均匀和湍流而发生折射路径的随机变化，导致到达我们眼睛的光强和视位置不断改变，这就是闪烁。从衍射角度看，由于星星是点光源，其通过瞳孔形成的艾里斑很小。大气扰动使得这个小艾里斑在视网膜上快速移动并改变强度。
    行星虽然也遥远，但相对星星而言，它们具有一定的角直径，不能完全看作点光源，更像是一个小的圆面光源。我们可以把行星看作由许多个点光源组成。每个点光源发出的光都会因大气扰动而闪烁，但由于行星的角直径较大，这些点光源的闪烁效应在时间和空间上是不同步的，它们叠加起来在整体上相互抵消了一部分，使得行星看起来不那么闪烁，或者说闪烁频率较低、幅度较小。行星通过瞳孔形成的艾里斑相对较大，大气扰动对其整体位置和强度的影响不如对星星那么剧烈。

    \item \textbf{答案4：}
    望远镜的角分辨率由瑞利判据给出：$\theta_R = 1.22 \frac{\lambda}{D}$，其中 $D$ 是望远镜的口径 (物镜或主镜的直径)，$\lambda$ 是光的波长。
    口径 $D$ 越大，最小分辨角 $\theta_R$ 就越小。这意味着望远镜能够区分开角距离更近的两个点光源 (例如两颗靠得很近的恒星，或者一个遥远星系上的细节)。
    从衍射的角度来看，光通过望远镜的圆形孔径时会发生衍射，形成艾里斑。口径 $D$ 越大，形成的艾里斑的角半径 ($\approx 1.22 \lambda/D$) 就越小。艾里斑越小，两个邻近点光源的衍射图样就越不容易重叠，因此更容易被分辨开。所以，大口径望远镜具有更高的分辨率，能够看到更精细的天体细节。

    \item \textbf{答案5：}
    根据惠更斯-菲涅尔原理，当单色平行光照射一个不透明圆盘时，在其几何阴影区的中心轴线上，光强是\textbf{亮的}。这是因为从圆盘边缘各点发出的子波，到达阴影中心点时，光程差满足相长干涉的条件 (或者说，中心点是所有边缘子波的对称中心)。
    这个现象被称为\textbf{泊松亮斑 (Poisson Spot)} 或 \textbf{阿拉果亮斑 (Arago Spot)}。 [cite: 3] 它是菲涅尔提出的光的波动理论的一个惊人预言，最初被泊松用来反驳菲涅尔的理论，但随后被阿拉果通过实验证实，从而有力地支持了光的波动说。 [cite: 3]

\end{enumerate}

\end{document}